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miércoles, 3 de septiembre de 2014

Conjunto



Historia
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito. Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalenciaparticioneshomomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

Definición de conjunto
En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personasnúmeroscoloresletrasfiguras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, y el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.


Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Clases de conjuntos
Existen varios tipos de conjuntos que podemos encontrar cuando trabajamos con ellos, los combinamos o examinamos todas las posibilidades que existen para formarlos.

1. Conjunto finito
Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

2. Conjunto infinito
Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión.

3. Conjunto unitario
En un conjunto formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.

4. Conjunto vacío
Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión.

5. Conjuntos homogéneos
Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos.

6. Conjuntos heterogéneos
A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Rafael.

7. Conjuntos equivalentes
Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos.

8. Conjuntos iguales
Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están compuestas por los mismos elementos.

Conjuntos Coordinables
Se dice que dos conjuntos son coordinables cuando están formados por el mismo número de elementos y puede establecerse una correspondencia entre ambos.


Para que tengas un ejemplo, supón que en una fiesta de cumpleaños existen la misma cantidad de copas de vino como de invitados. En este caso, tanto el conjunto de invitados como de copas es coordinable, ya que cada persona recibirá su copa de vino.

Conjuntos no Coordinables
Aquí pasa todo lo contrario, ya que se refiere a que ambos conjuntos, a pesar de tener elementos correspondientes entre sí, no cuentan con el mismo número de elementos en cada uno de ellos. Volvamos al ejemplo de la fiesta de cumpleaños.

Imagina que ahora ha llegado a la fiesta una persona de improvisto. Por lo tanto, el conjunto de las copas de vino es insuficiente para corresponder con el de las personas de la fiesta. En este caso se dice que sólo una porción del conjunto de copas de vino es coordinable con el de personas.

Subconjuntos

Cuando con algunos de los elementos de un conjunto podemos crear otro, decimos que hemos formado un subconjunto. Es decir que un subconjunto siempre está formado por algunos elementos de un conjunto más grande.

Para que tengas un ejemplo, imagina que "A" corresponde al conjunto de los días del año. De él podemos extraer un subconjunto "B" que solo contenga algunos de esos días y que llamaremos el subconjunto de marzo. ¿Ves cómo los meses son subconjuntos formados para organizar un conjunto de días más grande que denominamos año?


martes, 1 de julio de 2014

Números Naturales

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adicion de Numeros Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. 
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. 
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se
comieron los lobos). 

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a) 
 
Propiedades de la Division de Numeros Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas. 
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). 
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. 

Propiedades de la división

lunes, 2 de junio de 2014

Números Naturales

¿Que son los Números Naturales?




Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Propiedades de la adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.


jueves, 17 de octubre de 2013

Algebra y sus operaciones

El Álgebra (del árabe: الجبر al-ŷarabi 'reintegración, recomposición ) es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritméticaA diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general. El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.

  

Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas.
Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.
Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:
algebra_basica01
Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).
En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.
La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.
 Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.
Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:
algebra_basica02

Prioridad de las operaciones

Cada expresión algebráica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.
Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.
Ese orden es el siguiente:
1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves)  hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.
2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.
Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.
Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).
3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma jerarquía)
4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía)
5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)
Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.
Por ejemplo:
algebra_basica03


Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual
Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia.
Así, por ejemplo, interpretan la expresión
5 + 8 = + 3
en términos similares a los siguientes: “A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3”.
Por tal razón, consideran que debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así:
5 + 8 = + 3 = 16
Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, + 3). Para que ello se cumpla, debe valer 10.
Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual.

Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica.
Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).
Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:
1) como decimales finitos
2) como decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.
Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.
En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.
Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.

Propiedades de los números reales

Propiedades de la adición
La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.
Propiedad Asociativa de la adición:
 Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).
También     Es la llamada propiedad asociativa de la adición.
Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Elemento neutro de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición,
tal que a + 0 = 0 + a = a.
Elemento simétrico de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.
Propiedad Conmutativa de la adición
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b + a.
También   Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.

Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4

Propiedades de la multiplicación

Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso.
El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.
Propiedad Asociativa de la multiplicación
Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).
También  Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.
Un ejemplo aritmético:
Elemento neutro
Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación,
tal que a(1) = 1(a) = a.
Elemento recíproco o inverso
Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a–1) = (a–1)a = 1.
Propiedad Conmutativa de la multiplicación
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo:  ab = ba.
 También    Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.
Un ejemplo aritmético:
Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:
Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente:
 a(b + c) = ab + ac  también  (b + c)a = ba + ca
También 
Un ejemplo aritmético:
Regla de los Signos para sumar y restar:
1.      En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + –8 = –3
2.      En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 – 8 = –3
5 – (–8) = 13
Regla de los signos en la multiplicación y la división
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son de signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplos:
            5 x 8 = 40                           5 x –8 = –40
Multiplicación de polinomios
El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:
(ax + b) (cx2) = acx3 + bcx2
Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:
(ax3 + bx2 – cx) (dx + e) = adx4 +aex3 + bdx3 + bex2 – cdx2 - cex
Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:
= adx4 + (ae + bd)x3 + (be – cd) x2 – cex

Recta Numérica

Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica.
El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.
Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.
·         Si a – b es positivo, entonces a > b.
·         Si b – a es positivo, entonces a < b.
Valor Absoluto
La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:
·         si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
·         si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|–7| = 7
Notación Exponencial
La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).
Ejemplos:
x2 = x · x
22 = 2  · 2
34 = 3 · 3 · 3 · 3
Término algebraico
Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal.
 Ej:  
7xy3         
–2mnp2    
π r2   
En todo término algebraico hay:
Signo: positivo o negativo
Coeficiente numérico: es el  número que va al comienzo del término algebraico
Factor literal: son las letras y sus exponentes
Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos
Término algebraico
Signo
Coeficiente numérico
Factor literal
Grado
2m2n5
Positivo
2
m2n5
5
5 a3b6c8
Positivo
5
a3b6c8
8
1/3 zhk5
Negativo
1/3
zhk5
5

Expresiones Algebraicas
Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
monomio = un solo término.
Por ejemplo: 3x2
binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x
trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5
polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
8 x3y4
3 a2b+ 8z
a – b9 + a3b6
2/3 a2 + bc + a2b4c6– 2
x2
z5 +32 x3
9a – b2 + c3
ab –  a6b3c + 8 – 26a

Reglas de los Exponentes:
·      Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.
Ejemplo: x2 . x4 = x2+4 = x6
·      Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual.
           
Ejemplo: (x2)4 = x2+4 = x6
·      En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n.
Ejemplo: (xy)2 = x2 y2
·      En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.
1.      

Por ejemplo:
2.      
3.      
4.      
5.      
6.      
7.      
8.      
Expresiones fraccionales
Una fracción es una expresión en la forma:
Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Por ejemplo:
Multiplicación de expresiones algebraicas
Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.
Por ejemplo:
Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.
Por ejemplo:
Suma y resta de expresiones algebraicas
En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo:
Exponentes enteros
Reglas básicas para trabajar los exponentes:
Regla:
Ejemplo:
 

Radicales (Raíces)
Un radical es una expresión en la forma:
 que se lee "raíz n de b"
Cada parte de un radical lleva su nombre,

El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.

Propiedades de los Radicales (de las raíces)
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando.
Ejemplos:
Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo puede ser indicada. Se puede agrupar los términos semejantes del radical.
Ejemplo:
Fuentes Internet: