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martes, 2 de marzo de 2010

Números Imaginarios

Un número que cuando se eleva al cuadrado da como resultado un número negativo.

Ahora, si se eleva al cuadrado cualquier número real siempre se obtendrá un número positivo, o cero, como resultado. Por ejemplo 2×2=4, y (-2)×(-2)=4 también.

Entonces ¿cómo podemos elevar al cuadrado un número y obtener un resultado negativo? Porque nos "imaginamos" que podemos ? y resulta que tales números que pueden parecer imposible, son en realidad útiles y pueden resolver problemas reales.

La "unidad" de números imaginarios (lo mismo que es "1" para los números reales)es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno, y su símbolo es i, o j.
Números imaginarios
Definición

Un número que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por sí mismo) da un resultado negativo.

Intentos
Vamos a probar a elevar algunos números al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:

2 × 2 = 4

(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)

0 × 0 = 0

0.1 × 0.1 = 0.01
¡No hay suerte! Siempre positivo, o cero.

Eso es porque estamos calculando el cuadrado de números reales.

Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto:

i × i = -1

¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?


Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:



Y eso es muy útil... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?

Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i

Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Unidad imaginaria
La "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).

En matemáticas se usa i (de imaginario) pero en electrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j).



Ejemplos de números imaginarios
i 12.38i -i 3i/4 0.01i -i/2

Los números imaginarios no son "imaginarios"
De hecho hubo un tiempo en que se pensó que los números imaginarios eran imposibles, y por eso se llamaban "imaginarios" (a modo de broma).

Pero después hubo gente que investigó más y descubrió que son útiles e importantes porque rellenan un hueco en matemáticas... pero el nombre de "imaginario" se mantuvo.

Utilidad
Aquí tienes dos ejemplos en los que son útiles:

Electricidad

La CA o AC (corriente alterna) cambia de positivo a negativo siguiendo una onda sinuoidal.
Si combinas dos corrientes alternas puede que no coincidan bien, y puede ser muy difícil calcular la nueva corriente.

Pero usar números reales e imaginarios juntos hace mucho más fáciles los cálculos.

Y el resultado puede ser corriente "imaginaria", ¡pero puede hacerte daño igual!

Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática puede dar resultados con números imaginarios...


... pero quizás después de más cálculos el número "i" se cancela (o se convierte en real porque está al cuadrado), dando una respuesta que es real.



Propiedad interesante
La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:



So, i × i = -1, ... después -1 × i = -i, ... después -i × i = 1, ... después 1 × i = i (¡de vuelta i!)
Conclusión
La unidad imaginaria, i, es igual a la raíz cuadrada de menos 1

Los números imaginarios no son "imaginarios", son de verdad y son útiles, ¡y puedes tener que usarlos algún día!

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